Hay Infinitos Primos…

Los Números Primos, son números enteros que admiten sólo dos divisores naturales: su valor absoluto y el 1. El número 2 es el único número natural par, que es primo. El 3 es primo, El 5, es el único número natural terminado en 5, que es primo. Siguiendo con los naturales, los números terminados en 1, 3, 7 y 9 pueden ser primos. Por ejemplo, los números 11, 13, 17 y 19 son los primos entre 10 y 20.

Los primos son importantes porque, su existencia, permite concluir que cada número entero se escribe como único producto de factores primos. Dado un número natural cualquiera, o es primo o es un único producto de factores primos. Encontrar esos factores primos, es una tarea tediosa para números muy grandes. Sólo determinar si es primo un número de 25 dígitos (del orden de 1 septillón), puede demandar 48 horas de cómputo ininterrumpido en un ordenador con procesador potente de 8 núcleos de última generación. Imagine lo que se tardaría en verificar “todos” los factores primos de un número de 500 dígitos; una tarea casi imposible de completar en tiempo razonable. El altísimo costo computacional de la factorización en primos sirve, en criptografía, al momento de encriptar información, utilizando un número natural enorme y su factorización en primos.

La factorización primal de los números, da lugar a preguntarse si hay una cantidad finita de ellos. De ser así, eso proporcionaría un atajo a la hora de reducir el tiempo de factorización, al ser conocidos los factores posibles. A primera vista, un examen de los primeros primos revela que su frecuencia disminuye: en los primeros cien números naturales hay 25, en los primeros mil hay 168, y en el primer millón hay 76498 primos impares.

El gráfico muestra la frecuencia de primos positivos hasta el primer millón de números naturales. La caída en su frecuencia revela que aparecen menos primos a medida que crecen los naturales. De permanecer la tendencia, ¿significa que los primos se agotan luego de algún cierto número natural?. La respuesta es que tal tendencia podrá permanecer, aunque los primos nunca se agotan. O sea, podrían existir infinitos primos naturales, aunque su frecuencia tienda a cero. Veamos una prueba de infinitud.

Suponga que hay finitos primos naturales, con lo cual, salvo el 2, estos primos son todos impares. Sea A el número que se obtiene como producto de todos estos primos impares1. Esto alcanza para concluir que cualquier impar más grande que A, no podrá ser primo. Sea B=A+2, el primer impar más grande que A. Ahora, por factorización en primos, se sabe que todo número natural mayor a 2 se puede escribir como producto de alguna combinación de estos primos impares. Cada natural, y cada impar, mayor a A, comparte algún factor primo con A, pues A es el producto de todos los primos impares positivos. Sea Pj ese factor común. Luego, Pj divide a A, y divide a la suma A+B, por lo que también divide a B. Es decir, Pj divide a A+2, por lo que divide a 2, lo cual es absurdo ya que Pj es impar y es mayor a 2 con lo cual no puede ser divisor entero de 2. El absurdo viene de suponer que hay finitos primos.

Se concluye, así, que Hay Infinitos Primos.

1 A es impar porque es el producto de impares.

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Atte. cvelportezuelo.org

El Inicio

Éste es el inicio de una relación, que se espera duradera, entre mensajeros del conocimiento y la sociedad que elija nuestras clases y eventos. La intención es construir, con Ustedes, ese futuro que soñamos para nuestra posteridad.

Que así sea…